[OR] - 행렬과 행렬식

1. 행렬의 정의 

   → m, n 개의 원소( Elements ) , 를 다음과 같이 나열한 것을 

      m×n 행렬이라한다.

  

여기서 는 i 번째 행( Row ) 과 j 번째 행 ( Column ) 의 원소를 나타내며, 행렬을 문자 A 로 표시 하면, 아래 식으로 나타낸다.

행과 열의 수를 나타내는 m×n 행렬의 차원 ( dimension ) 이라 한다.

  1) 정방행렬 ( Square matrix ) 

     → 행과 열의 갯수가 같은 행렬 ( m = n ) 

        

  2) 대칭 행렬 ( Symmetric matrix ) 

     → 정방행렬 에서 모든 i, j  에 대하여 가 성립되는 행렬

      

  3) 단위 행렬 ( Unit matrix )

     → n 차 행렬에서 대각선 요소 ( Diagonal elements ) 가 모두 1이고, 나머지가 모두 0인 행렬

     → n 차 단위 행렬이라고 하며 또는 으로 표기

     

 If i ≠ j ; ;  If i = j ; 

 

  4) 대각선 행렬 ( Diagonal matrix )

     → 대각선 원소만이 0 이 아닌 값을 가지고 나머지는 0을 가지는 행렬

      

 If i ≠ j ; ; If i = j ; 

  5) 전치 행렬 ( Transpose matrix ) 

      

 

의 전치 행렬 

     이고 가 성립하는 행렬

  6) 벡트 ( Vector )

     → n×1 행렬을 n차 행백터( Row vector ) 라 부르고 1×n 행렬을 n 차 열백터 ( Column vector )

2. 행렬의 연산 

  1) 행렬의 덧셈과 뺄셈 ( Addition and subtraction of matrices )

     → 두 행렬의 덧셈

          두개의 m × n 행렬 와  를 덧셈

     → 두행렬의 차원이 같을때 만 가능 

        

      

     → 두 행렬의 뺄셈

         

  2) 행렬의 곱 ( Multiplication of matrices )

     → m × n 행렬 와 n × l 행렬 의 곱을 

     → A열의 수와 B의 행의 수가 일치해야만 수행가능

           

  3) 스칼라 곱 ( Scalar multiplication )

      → m × n 행렬 에 대해 임의의 상수( Constant ) δ를 곱셈

     

 

  4) 행렬 식 ( Determinant )

       → 정방행렬 의  행렬식은 |A| 혹은 det(A) 로 표시

      → 1×1 행렬 일 경우

       

      → 2×2 행렬 일 경우 

       

      → 3×3 행렬 일 경우 

     

      

      → n×n 행렬일 경우 

       

      

      

  5) 트레이스 ( Trace ) 

      → 정방행렬 A의 트레이스를 tr(A) 로 표기하고 tr(A) 는 행렬 A 의 대각선원소의 합

      

3. 특수한 행렬 

  1) 역행렬 ( Inverse matrix ) 

      → 행렬 A가 n차의 정방행렬이고 행렬식이 0 이 아니면, 

         을 만족하는  가 존재하며, 를 A의 역행렬이라한다.

         

         

        

  2) 직교행렬 ( Orthogonal matrix ) 

  3) 멱등행렬 ( Idempotent matrix )

4. 선형방정식 

  1) 선형독립 ( Linear Independence )

  2) 연립선형방정식 ( Simultaneous linear equations ) 

 

5.  고유치와 고유백터 

6. 이차형식

7. 분할행렬 

8. 미분법

9. 행렬에 대한 정리 

  1) 전치 행렬의 계산 

      

  2) 정방행렬과 단위 행렬의 계산

      

  3) 행렬식의 관계 

      

  4) 정방행렬과 전치행렬의 행렬식

      

  5) A가 n×n 행렬이면 

      

  6) Vandermonde 행렬

      

  7) Trace 의 덧셈과 뺄셈

            

  8) Trace 의 스칼라 곱

      

  9) 단위행렬의 Trace 

      

  10) Trace 의 곱

      

  11) x 는 n×1 벡터이고, A 는 n×n 행렬이며,

     

   12) 역행렬의 역행렬

     

   13) 전치행렬의 역행렬

     

   14) 역행렬의 분리 

      행렬 A, B 가 모두 정방행렬이고, 이면 

   15) 스칼라 곱의 역행렬

      상수 a 가 0 이 아니고 행렬 A의 역행렬이 존재하면,       

     

   16) 역행렬의 행렬식

      

    17) n × n 행렬 A 가

     

      의 모양을 가지면 , A의 행렬식은       

      

  1) 연립방정식과 해와 해집합

  2) 기본 행 조작 

2. 행렬 이론 

  1) 행렬(Matrix) 이란 ? 

z

      → 숫자나 기호, 수식 등을 네모꼴에 배열한 것으로, 괄호를 묶어서 표시한다. 

      → 행렬의 각 항들은 원소 또는 성분이라 한다.

      

연산

    

  2) 행렬식과 역행렬

3. 관련 식

  1) 후방 대입법

  2) 가우스 소거법 ( Gaussian elimination process )

  3) 가우스 조단 단순화 법 ( Gaussian-Jordan reduction process )

  4) 라플라스 전개