[R] 4. 행렬 기초 이론

1. 행렬의 정의 

\(mn\)개의 원소(Elements),\( x_{ij}, (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)\)을 다음과 같이 나열한 것을  \(m × n\) 행렬이라고 한다. 

 

\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{mn} \end{pmatrix}

 

여기서 \(x_{ij}\)는 i번째 행과 j번째 열의 원소를 나타내며, 위의 행렬을 문자 \(X\)로 나타내면, 다음과 같이 쓴다. 

$$X=(x_{ij}), (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)$$

행과 열의 수를 나타내는 \(m × n\) 을 행렬의 차원(Demension)이라고 한다.

 

1) 정방 행렬(Sequare matrix)

행과 열의 갯수가 같은 행렬을 정방 행렬이라 한다. 

\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \end{pmatrix}

 

2) 대칭 행렬(Symmetric matrix)

정방행렬 \(X=(x_{ij})\)에서 모든 \(i, j\)에 대하여 \(x_{ij} = x_{ji} \)가 성립될때 \(X\)를 대칭행렬이라 한다. 

 

\begin{pmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 6 \\ 5 & 6 & 3 \end{pmatrix}

 

3) 단위 행렬(Uint matrix)

\(n\)차의 행렬에서 대각선 원소가 모두 1이고, 나머지는 모두 0이면 이를 \(n\)차 단위행렬이라 하고, \(I\) 또는 \(I_{n}\)으로 표시한다. 

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

 

4) 대각선 행렬 (Diagonal matrix)

대각선 원소만 0이 아닌 값을 가지며, 그 외 다른 모든 원소는 모두 0의 값을 가지는 행렬을 대각선 행렬이라 한다.  

 

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

 

5) 전치 행렬(Transpose matrix)

행렬 \(X\)의 행을 열로하고, 열을 행으로 한 행렬을 \(X '\)로 표시하고, \(X'\)를 \(X\)의 전치 행렬이라 한다. 그 반대의 경우도 성립한다. 

 

$$X = \begin {pmatrix} x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \cdots & x_{mn} \end{pmatrix}$$

 

$$X' = \begin {pmatrix} x_{11} & x_{21} & \cdots & x_{m1} \\ x_{12} & x_{22} & \cdots & x_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{1n} & x_{2n} & \cdots & x_{mn} \end{pmatrix}$$

 

전치 행렬의 정리 

$$ (XY)' = Y'X' $$

모든 정방행렬 \(X\)에 대하여 \(XI = IX = X\)가 성립한다.

 

6) 벡터(Vector)

\(n \times 1 \) 행렬을 \(n\)차 행벡터라 부르고 \( 1 \times n \) 행렬을  열벡터라 한다.

 

2. 행렬의 연산

 

1) 행렬의 합

두개의 \(m \times n\) 행렬 \(X=x_{ij} \)와 \(Y=y_{ij}\)의 합은 다음과 같다. 

$$ X + Y = \begin {pmatrix} x_{11} + y_{11} & x_{12} + y_{12} & \cdots & x_{1n} + y_{1n} \\ x_{21} + y_{21} & x_{22} + y_{22} & \cdots & x_{2n} + y_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} + y_{m1} & x_{m2} + y_{m2} & \cdots & x_{mn} + y_{mn} \end{pmatrix} = (x_{ij} + y_{ij})$$

 

2) 행렬의 차

두개의 \(m \times n\) 행렬 \(X=x_{ij} \)와 \(Y=y_{ij}\)의 차은 다음과 같다. 

$$ X - Y = \begin {pmatrix} x_{11} - y_{11} & x_{12} - y_{12} & \cdots & x_{1n} - y_{1n} \\ x_{21} - y_{21} & x_{22} - y_{22} & \cdots & x_{2n} - y_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} - y_{m1} & x_{m2} - y_{m2} & \cdots & x_{mn} - y_{mn} \end{pmatrix} = (x_{ij} - y_{ij})$$

 

3) 행렬의 곱

\(m \times n\) 행렬 \(X= (x_{ij}) \)와 \(m \times l\)행렬 \(Y=(y_{ij})\)의 곱을 \(Z=(z_{ij})\)라 하면, 

$$ z_{ij} = x_{i1}y_{1j} + x_{i2}y_{2j} + \cdots + x_{in}y_{nj} = \sum_{k=1}^n x_{ik}y_{kj} $$ 

이고 , 행렬 \(Z\)는 \(m \times l \) 행렬이 된다. 

 

$$ X \times Y = \begin {pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \end{pmatrix} \begin {pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \\ y_{31} & y_{32} \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} x_{11}y_{11} + x_{12}y_{21} + x_{13}y_{31} \\ x_{21}y_{12} + x_{22}y_{22} + x_{23}y_{32} \end {pmatrix} $$

 

4) 스칼라 곱

\(m \times n\)의 행렬 \(X=x_{ij}\)에 대해 임의의 상수 \( a\)를 곱하면 아래와 같다. 

$$  aX= \begin{pmatrix} ax_{11} & ax_{12} & \cdots & ax_{1n} \\ ax_{21} & ax_{22} & \cdots & ax_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ax_{m1} & ax_{m2} & \cdots & ax_{mn} \end{pmatrix} $$